Information Literacy: Use Mathematica 1

Mathematica を使うその１

今日の演習内容

小学校の算数
中学校の数学
高校の数学
大学の物理に関連した数学（改装中）

今週は Mathematica というプログラムを使ってみる。 Mathematica は「みんなの代わりに計算してくれるソフトウェア」「数式処理ソフトウェア」「数値視覚化ソフトウェア」など色々なとらえ方があると思うが、習うより慣れろで、とにかく使ってみて理解するのが良い。最初は非常に簡単な計算から始める。

Mathematica の起動と簡単な計算

「メインメニュー」の「センターメニュー」「アプリケーション」「Mathematica 数式処理」をクリック。
新しいウィンドウが開き Mathematica がコマンド入力待ちの状態になる。 Mathematica のコマンドは、このウィンドウ内に文字として打ち込んでゆく。
非常に簡単な計算をしてみる。以下のコマンドを入力する。
```
   1+2
```
入力し終えたら、シフトキーを押しながらリターンキーを打つ。リターンキーだけ打っても計算を実行してくれないので注意。これはまず覚えておくように。
他の計算もやってみる。
```
   10-5
   3*4
   3 4
```
最後の「3 4」はかけ算の意味。 Mathematica ではかけ算は数学の数式を書いた場合と同様に、数字あるいは変数の間に空白を空けるとかけ算の意味になるので覚えておこう。
ベキ乗は以下のように計算する。
```
   2^8
```
この例は２の８乗を計算している。

Mathematica の特徴

これまでの計算結果は予想通りだと思うが、次の計算をしてみる。
```
   1/2
   1./2.
```
最初の計算の答えは分数で出てきた。 Mathematica では計算精度をできるだけ失わないようにするためにこのような計算をする。 Mathematica は単なる電卓ではなくて、数式処理プログラムだということが分かったはず。
２番目の例では計算式の中の数値が整数ではなくて実数となっている。実数は Mathematica の中では、有限の精度しか持たない数値として扱われるので、計算結果も有限の精度しか持たない実数で返って来る。この違いが分かっただろうか。

今やった計算式と計算結果はファイルとして保存できる。 mathematica という新たなディレクトリーを作成し、その中にファイルを保存する。「File」プルダウンメニューの「Save」をクリックし、 basic_school.nb というファイル名を入れて保存（.nb は自動的に付く）。

中学の数学

次はもう少しだけ難しい計算をしてみる。

式の展開と因数分解

新しい計算をするので、「File」プルダウンメニューの「New」をクリックし新しいウィンドウを開く。まずは数式の展開をやってみる。
```
   Expand[ (x+1)^3, x ]
```
このコマンドは x+1 の３乗を多項式に展開する。
使った Expand コマンドの書式は
```
   Expand[ 展開すべき式 , 展開する変数 ]
```
である。 Mathematica のコマンド名は、この例のように必ず大文字で始まる。これと区別するために、自分で定義する変数や関数は、小文字で始めるのが混乱が無くて良い。またコマンドのパラメータは [ ] で囲まれカンマ「,」で区切られる。
上の例だと手でもできそうだが、下の例はどうだろうか。
```
   Expand[ (x+1)^15, x ]
```
これはちょっと手では計算したくない。
次は逆に因数分解をやってみる。
```
    Factor[ x^2-5x+6 ]
    Factor[ x^3-x^2-10x-8 ]
```
Factor コマンドのパラメータは因数分解する数式。２次くらいだと手でも因数分解できそうだが、３次以上になると難しい（Mathematica に任せるのが無難）。

方程式を解く

次は方程式を解いてみる。
```
   Solve[ x^2-1==0, x ]
```
方程式を解くコマンド Solve の書式は
```
   Solve[ 解くべき方程式 , 解くべき変数 ]
```
である。解くべき方程式を書くときには等号として「==」（イコール２個）を使っている点に注意すること。
２次の方程式なら手でも解けるが、３次の方程式はどうだろう。
```
   Solve[ x^3-2x^2-x+2==0, x ]
```
Mathematica なら簡単に解ける。
この解いた方程式の解の様子を視覚的に見るために、関数をプロットしてみる。
```
   Plot[ x^3-2x^2-x+2, {x, -3, 3} ]
```
この Plot コマンドの書式は
```
   Plot[ プロットする関数 , プロットする変数とその範囲 ]
```
プロットする変数とその範囲は { } で囲んで変数、下限、上限の順で書く。先に求めた方程式の解の様子が視覚的にわかるはず。

その他の機能

三角関数なども当然扱える。
```
   Sin[theta]^2+Cos[theta]^2
```
Mathematica は何も計算してくれない。 cos の２乗と sin の２乗を足すと１になるはず。 Mathematica にそれをやらせるには
```
   Simplify[ Sin[theta]^2+Cos[theta]^2 ]
```
とする方法がある。答が１になったはず。
これまで色々なコマンドが出てきたが、コマンド名がわかっている場合には Mathematica の中でコマンドの説明を見ることがでる。
```
   ?Solve
```
英語でしか説明が出ないが、何となくわかるはず。コマンドのオプションの説明も
```
   Options[Solve]
```
で見れるが、多くの場合ここで出てくるオプションは必要無いので、オプションを見るコマンドがあるということだけ覚えておくこと。

ここでやった計算も junior_high_school.nb というファイルに保存する。

高校の数学

次は高校レベルの数学の計算をしてみる。

テイラー展開

新しいウィンドウを開く（「File」メニューで「New」をクリック）。テイラー展開をしてみる。
```
   Series[ 1/(1+x)^(1/2), {x,0,1} ]
```
用いた Series コマンドの書式は
```
   Series[ 展開すべき関数 , 展開する変数とその範囲 ]
```
となっている。
展開する変数とその範囲は前に出てきた Plot 関数のときのように { } で囲まれ変数、最低次数、最高次数の順。従って例では x について０次から１次までテイラー展開する、という意味になる。
答の最後に付いている「O[x]²」は x の２次以上の項がまだ残っていることを示している。
１次くらいまでのテイラー展開は簡単にできそうだが、次の例はどうだろうか。
```
   Series[ 1/(1+x)^(1/2), {x,0,10} ]
```
これはちょっと手では無理そうだし、計算間違いもしそうだ。 Mathematica に任せた方が良い。

微分・積分

次は微分を計算する。

   D[ x^3+x^2+x+1, x ]
   D[ Log[x], x ]
   D[ Sin[x], x ]
   D[ Cosh[x], x ]

特に説明しなくてもわかるはず。

次は積分を計算する。

   Integrate[ x^3+x^2+x+1, x ]
   Integrate[ Log[x], x ]
   Integrate[ Sin[x], x ]
   Integrate[ Cosh[x], x ]

これも説明無しでわかるはず。

上の例は全て不定積分だが定積分も可能。
```
   Integrate[ Sin[x], {x,0,Pi} ]
```
積分する変数とその積分範囲の書き方は Plot とか Series コマンドのオプションの書き方と非常に良く似ているので理解できるはず。
また積分の上限の Pi はπのこと。 Mathematica ではπも定義されている。数値を表示するコマンド N があるのでπの値を見てみる。
```
   N[Pi]
   N[Pi,100]
```
２番目の例では表示する数値の精度（１００桁）を指定している。
これまでの例では手でも簡単に積分出来そうだが次の例はどうだろうか。
```
   Integrate[ Sin[x]/(a + b Cos[x])^(3/2), {x,0,Pi} ]
```
これはちょっと計算に時間がかかりそう。やはり Mathematica に任せた方が良いだろう。

ここでの計算も high_school.nb というファイルに保存する。

Mathematica を使う その１

Mathematica を使うその１